Lösung

Offensichtlich ist das Gebiet, das die Ziege erreichen kann, die Summe des Kreis-Ausschnitts AR (rot, Mittenwinkel 2α)
und der beiden Kreis-Abschnitte AL (grün, Mittenwinkel β).
Wegen der gestellten Bedingung erhält man:

π/2 · R2 = α · L2 + (β - sin β) · R2 .

Mit

     L/R = sin β/sin α      folgt:

0 = α · sin2 β/sin2 α + β - sin β - π/2 .

Da

     β = π - 2α      und
     sin (π - x) = sin (x)      folgt:

0 = π/2 + α · [ sin2(2α)/sin2(α) - 2 ] - sin (2α) .

Unter Verwendung der trigonometrischen Beziehungen

     sin (2x) = 2 sin (x) cos (x)      und
     2 cos2(x) - 1 = cos (2x)      erhält man schließlich:

0 = π/2 + 2α · cos (2α) - sin (2α) .

Diese transzendente Gleichung erfordert eine iterative Lösung und ergibt:

    α = 0.9528     (54.6°)
    β = 1.2359    (70.8°)     und
    L/R = 1.1587 .

Die hier früher angegebene Lösung L = 1.14 R war falsch, worauf mich freundlicherweise ein Leser dieser Seiten hingewiesen hat.


© by , 08-dec-98,
Last revised: 07-nov-11